Hallo Suihaui,
im Regelfall tritt die Deckung (ausser bei Unfall) erst nach einer gewissen Frist (ca. 3 Monate) ein. Sonst würde ja jeder bei dessen Tier eine OP ansteht sich heute versichern, morgen die OP durchführen lassen und übermorgen die Rechnung bei der Versicherung einreichen.
Ausserdem sind oft auch Gesundenuntersuchungen (auch während der Laufzeit) vorgeschrieben. Die Höhe der Prämie hängt meist mit dem Alter des Tieres zusammen, je älter das Tier ist/wird desto teurer ist/wird die Prämie, da ja auch das Risiko, dass ein Versicherungsfall eintritt mit zunehmendem Alter steigt.
Routinevorsorgen wie etwa Impfungen oder Wurmkuren sind nicht versichert und werden nicht rückvergütet (bzw. nur zu einem geringen Teil), gleiches gilt oft auch für Kastrationen.